Quick answer
Как ты ду́маешь?
kak ty dúmayesh — как, not что — the single most common slip here
The options
Как ты ду́маешь?What do you think? — informal
Как вы ду́маете?What do you think? — polite
Как вы счита́ете?What is your view? — more formal
Что ты об э́том ду́маешь?What do you think about it? — with a topic
Твоё мне́ние?Your opinion?
как or что?
Without a topic it is always как: Как ты ду́маешь?. With an explicit topic, что appears together with об э́том: Что ты ду́маешь об э́том фи́льме?. A bare Что ты ду́маешь? sounds like you are asking what is going through their head right now.
Answering
The scale from soft to firm: мне ка́жется (it seems to me), я ду́маю (I think), я счита́ю (I hold the view), я уве́рен (I’m sure). With people you do not know, the softer end is the safer end.
What you hear back
Мне ка́жется, э́то хоро́шая иде́я.I think it’s a good idea.
Я не уве́рен.I’m not sure.
А ты как ду́маешь?And what do you think?
Сло́жный вопро́с.That’s a difficult question.
Typical mistakes
Что ты ду́маешь? — meaning “what’s your view?”
Как ты ду́маешь?
Russian uses как for an opinion.
Как ты ду́маешь об э́том?
Что ты ду́маешь об э́том?
With a topic, switch to что.
Check yourself
Which is correct with no topic named?
Opinions use как.