Quick answer
A painting is карти́на; a picture in general is изображе́ние. You go в музе́й and на вы́ставку.
The place
музе́йmuzéymuseum
галере́яgaleréyagallery
вы́ставкаvýstavkaexhibition
залzalhall, room
гардеро́бgarderóbcloakroom
ка́ссаkássaticket desk
What is in it
карти́наkartínapainting
портре́тportrétportrait
пейза́жpeyzázhlandscape
скульпту́раskulptúrasculpture
ико́наikónaicon
худо́жникkhudózhnikartist, painter
Visiting
экску́рсияekskúrsiyaguided tour
экскурсово́дekskursovódguide
входvkhodentry
беспла́тноbesplátnofree
фотографи́роватьfotografírovatto take photos
аудиоги́дaudiogídaudio guide
At the desk
Два биле́та, пожа́луйста.Two tickets, please.
Есть ски́дка для студе́нтов?Is there a student discount?
Мо́жно фотографи́ровать?May I take photos?
Где гардеро́б?Where is the cloakroom?
The coat goes first
In Russian museums and theatres you hand over your coat and large bag at the гардеро́б before anything else. It is not optional, it is free, and keeping your coat on will get you stopped at the first hall. You get a numbered token — do not lose it.
Typical mistakes
Я иду́ на музе́й.
Я иду́ в музе́й.
Museums take в; exhibitions take на.
Мо́жно фо́то?
Мо́жно фотографи́ровать?
The verb is the natural form of the question.
Check yourself
What must you do first in a Russian museum?
The гардеро́б comes before everything.