Quick answer
С пра́здником!
s prázdnikam — с + instrumental covers every holiday there is
The options
С пра́здником!Happy holiday! — works for any of them
С Но́вым го́дом!Happy New Year!
С Рождество́м!Merry Christmas!
С 8 Ма́рта!Happy Women’s Day!
С днём рожде́ния!Happy birthday!
The pattern
Drop the verb поздравля́ю and keep с + instrumental: с пра́здником, с Но́вым го́дом, с Рождество́м, с Па́схой, с побе́дой, с новосе́льем. If you only remember С пра́здником!, you are covered for every date in the calendar.
The dates that matter
1 January — Но́вый год, the biggest of all. 7 January — Рождество́. 23 February — День защи́тника Оте́чества, in practice a men’s day. 8 March — Междунаро́дный же́нский день, when flowers are expected. 9 May — День Побе́ды.
What you hear back
Спаси́бо, и вас!Thank you, and you!
И вас с пра́здником!Happy holiday to you too!
Взаи́мно!Likewise!
Typical mistakes
С Но́вый год!
С Но́вым го́дом!
с takes the instrumental: both words change.
Счастли́вого пра́здника — as a greeting
С пра́здником!
The с-pattern is the idiomatic one.
Check yourself
Which is correct?
Instrumental after с.