Quick answer
Поздравля́ю!
pozdravlyáyu — and с + instrumental for what you are congratulating on
The options
Поздравля́ю!Congratulations!
Поздравля́ю с днём рожде́ния!Happy birthday!
С пра́здником!Happy holiday!
Молоде́ц!Well done! — to one person
Так держа́ть!Keep it up!
The pattern
Поздравля́ю с + instrumental covers everything: с днём рожде́ния, с Но́вым го́дом, со сва́дьбой, с успе́хом. In speech the verb often drops away and only the С… remains.
What you hear back
Спаси́бо!Thank you!
Спаси́бо большо́е!Thank you very much!
Ва́ши слова́ — да Бо́гу в у́ши.From your lips to God’s ears. — an old, warm reply
Typical mistakes
Поздравля́ю тебе́!
Поздравля́ю тебя́!
The person congratulated takes the accusative.
Поздравля́ю с день рожде́ния
Поздравля́ю с днём рожде́ния
с takes the instrumental.
Check yourself
Which case follows с in a congratulation?
С днём рожде́ния — instrumental.