Quick answer
Кем вы рабо́таете?
kem vy rabótayete — literally “as whom do you work” — instrumental, always
The options
Кем вы рабо́таете?What do you do? — polite
Кем ты рабо́таешь?What do you do? — informal
Где вы рабо́таете?Where do you work?
Чем вы занима́етесь?What do you do? — broader, also for studies or hobbies
Я рабо́таю инжене́ром.I work as an engineer.
The instrumental answer
The profession takes the instrumental: инжене́ром, учи́телем, врачо́м, юри́стом, программи́стом, ме́неджером. Feminine words work the same way: учи́тельницей, медсестро́й.
Чем занима́етесь?
This is the softer, wider question. It covers a job, a degree or a business, and is the safer choice with someone whose situation you do not know. Answer with Я занима́юсь + instrumental, or simply say what you do.
What you hear back
Я врач.I’m a doctor. — nominative is fine as a bare answer
Рабо́таю в ба́нке.I work at a bank.
Я на пе́нсии.I’m retired.
Сейча́с в по́иске.I’m job-hunting at the moment.
Typical mistakes
Я рабо́таю инжене́р.
Я рабо́таю инжене́ром.
рабо́тать + instrumental.
Что вы рабо́таете?
Кем вы рабо́таете?
The question word is кем — “as whom”.
Check yourself
Я рабо́таю ___. — I work as a teacher.
Рабо́тать takes the instrumental.