Quick answer
Dog is соба́ка (feminine, even for a male dog), cat is ко́шка for a female and кот for a male. Animals are animate, so masculine pets take the genitive form in the accusative: Я ви́жу кота́.
The animals
соба́каsobákadog
ко́шкаkóshkacat (female)
котkotcat (male)
котёнокkotyónokkitten
щено́кshchenókpuppy
попуга́йpopugáyparrot
ры́бкаrýbkapet fish
хомя́кkhomyákhamster
Looking after them
кормkormpet food
поводо́кpovodóklead, leash
оше́йникoshéynikcollar
ветерина́рveterinárvet
гуля́тьgulyátto walk (the dog)
корми́тьkormítto feed
What they do
ла́ятьláyatto bark
мурлы́катьmurlýkatto purr
куса́тьkusátto bite
игра́тьigrátto play
Talking about your pet
У меня́ есть соба́ка.I have a dog.
Как зову́т ва́шу ко́шку?What is your cat called?
Я гуля́ю с соба́кой.I walk the dog. — instrumental after с
Она́ лю́бит кото́в.She loves cats. — animate plural
Cat sounds
Russian cats say мяу and dogs say гав-гав. To call a cat you say кис-кис-кис.
Typical mistakes
Я ви́жу кот.
Я ви́жу кота́.
Animate masculine nouns look like the genitive in the accusative.
Мой соба́ка
Моя́ соба́ка
соба́ка is feminine whatever the dog’s sex.
Check yourself
Я ви́жу ___. — I see the cat (male).
Animate masculine: the accusative copies the genitive.