Quick answer
Both are на places: на по́чте, but в ба́нке. The queue is о́чередь, and it is feminine.
At the bank
банкbankbank
ка́ртаkártacard
счётschyotaccount, bill
банкома́тbankomátcash machine
перево́дperevódtransfer
ку́рсkursexchange rate
At the post office
по́чтаpóchtapost office, mail
письмо́pismóletter
посы́лкаposýlkaparcel
ма́ркаmárkastamp
а́дресádresaddress
и́ндексíndekspostcode
Getting served
о́чередьócheredqueue (f.)
око́шкоokóshkocounter window
па́спортpásportpassport
подписа́тьpodpisátto sign
заполни́тьzapólnitto fill in
At the counter
Я хочу́ отпра́вить посы́лку.I want to send a parcel.
Где здесь банкома́т?Where is the cash machine?
Мне ну́жно заполни́ть?Do I need to fill this in?
Кто после́дний?Who is last in the queue? — the traditional question
Кто после́дний?
Russian queues are often invisible: people sit down and remember their order. Ask Кто после́дний? to claim your place, then keep an eye on that person.
Typical mistakes
в по́чте
на по́чте
The post office belongs to the на group.
мой о́чередь
моя́ о́чередь
о́чередь ends in -ь and is feminine.
Check yourself
How do you say “at the post office”?
на по́чте — one of the fixed на places.